06. Είδη γωνιών - Κάθετες ευθείες – Μαθηματικά Γυμνασίου & Λυκείου

Οι γωνίες ταξινομούνται με βάση το άνοιγμά τους σε σχέση με την ορθή γωνία, η οποία ορίζεται ως το ένα τέταρτο μιας πλήρους περιστροφής. Η μέτρηση των γωνιών γίνεται σε μοίρες (°) με τη χρήση του μοιρογνωμονίου. Μία μοίρα υποδιαιρείται σε 60 πρώτα λεπτά (60’) και κάθε πρώτο λεπτό σε 60 δεύτερα λεπτά (60’’).

0.1 Θεωρία: Ταξινόμηση Γωνιών βάσει Μέτρου

Σύμφωνα με το μέτρο τους (φ), οι γωνίες διακρίνονται στα εξής είδη:

Μηδενική γωνία: Είναι η γωνία της οποίας το μέτρο είναι $0^\circ$. Σε αυτή την περίπτωση, οι δύο ημιευθείες που αποτελούν τις πλευρές της γωνίας ταυτίζονται.
Οξεία γωνία: Είναι κάθε γωνία με μέτρο μεγαλύτερο από $0^\circ$ και μικρότερο από $90^\circ$ ($0^\circ < \phi < 90^\circ$). Ορίζεται ως η γωνία που είναι μικρότερη από την ορθή.
Ορθή γωνία: Είναι η γωνία που έχει μέτρο ακριβώς $90^\circ$. Οι πλευρές της ορθής γωνίας είναι ημιευθείες κάθετες μεταξύ τους.
Αμβλεία γωνία: Είναι η γωνία με μέτρο μεγαλύτερο από $90^\circ$ και μικρότερο από $180^\circ$ ($90^\circ < \phi < 180^\circ$). Χαρακτηρίζεται ως μεγαλύτερη από την ορθή και μικρότερη από την ευθεία γωνία.
Ευθεία γωνία: Έχει μέτρο $180^\circ$. Οι πλευρές της ευθείας γωνίας είναι αντικείμενες ημιευθείες.
Μη κυρτή γωνία (ή αντανακλαστική): Είναι η γωνία με μέτρο μεγαλύτερο από $180^\circ$ και μικρότερο από $360^\circ$ ($180^\circ < \phi < 360^\circ$). Ορίζεται ως ο εξωτερικός χώρος που σχηματίζεται από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή, μαζί με τα σημεία των ημιευθειών.
Πλήρης γωνία: Είναι η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με $360^\circ$. Στην πλήρη γωνία οι πλευρές συμπίπτουν μετά από μια πλήρη περιστροφή.

Η διάταξη των γωνιών από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη είναι η εξής:

Μηδενική $\Rightarrow$ Οξεία $\Rightarrow$ Ορθή $\Rightarrow$ Αμβλεία $\Rightarrow$ Ευθεία $\Rightarrow$ Μη κυρτή $\Rightarrow$ Πλήρης.

0.2 Ασκήσεις και Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης

1. Ερωτήσεις Σωστού/Λάθους:

* Μια οξεία γωνία μπορεί να είναι μεγαλύτερη από $90^\circ$. (Λάθος).

* Το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι $90^\circ$. (Σωστό).

* Το αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει τρεις αμβλείες γωνίες. (Λάθος).

* Κάθε τρίγωνο έχει οπωσδήποτε δύο οξείες γωνίες. (Σωστό).

* Μια γωνία $180^\circ$ ονομάζεται ευθεία γωνία. (Σωστό).

2. Υπολογιστικές Ασκήσεις:

* Εύρεση συμπληρωματικής: Αν μια γωνία είναι $35^\circ$, η συμπληρωματική της είναι $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

* Εύρεση παραπληρωματικής: Αν μια γωνία είναι $125^\circ$, η παραπληρωματική της είναι $180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.

* Αναλογία γωνιών: Δύο γωνίες έχουν άθροισμα $120^\circ$ και η μία είναι διπλάσια από την άλλη. Πόσες μοίρες είναι η καθεμία;

* Λύση: Έστω $x$ η μία γωνία και $2x$ η άλλη. $x + 2x = 120^\circ \Rightarrow 3x = 120^\circ \Rightarrow x = 40^\circ$. Άρα οι γωνίες είναι $40^\circ$ και $80^\circ$.

3. Αναγνώριση και Αντιστοίχιση: * Αντιστοιχίστε τις μοίρες με το είδος της γωνίας:

* $70^\circ$: Οξεία.

* $90^\circ$: Ορθή.

* $160^\circ$: Αμβλεία.

* $180^\circ$: Ευθεία.

4. Κατασκευαστικές Ασκήσεις:

* Σχεδιάστε με το μοιρογνωμόνιο μια γωνία $120^\circ$ (αμβλεία) και μια γωνία $45^\circ$ (οξεία).

* Κατασκευάστε τη διχοτόμο μιας ορθής γωνίας ($90^\circ$). Πόσες μοίρες θα είναι καθεμία από τις δύο νέες γωνίες;

* Απάντηση: $90^\circ : 2 = 45^\circ$ η καθεμία.

5. Σύνθετη ερώτηση: * Ο Στέλιος μέτρησε μια οξεία γωνία και τη βρήκε $120^\circ$. Είναι σωστή η μέτρησή του;

* Απάντηση: Όχι, η μέτρηση είναι λανθασμένη, διότι η οξεία γωνία είναι πάντα μικρότερη από την ορθή ($90^\circ$), ενώ οι $120^\circ$ αντιστοιχούν σε αμβλεία γωνία.

Οι κάθετες ευθείες αποτελούν βασική έννοια της Γεωμετρίας, καθώς ορίζουν την καθετότητα, τις αποστάσεις και τα ύψη στα γεωμετρικά σχήματα.

0.3 Θεωρία και Ιδιότητες

Ορισμός: Δύο ευθείες ονομάζονται κάθετες όταν τέμνονται σχηματίζοντας μία ορθή γωνία,.
Ορθή Γωνία: Η ορθή γωνία αντιστοιχεί σε $90^\circ$ και ορίζεται ως το ένα τέταρτο μιας πλήρους περιστροφής,.
Μοναδικότητα: Από οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, είτε αυτό ανήκει σε μια ευθεία είτε βρίσκεται εκτός αυτής, διέρχεται μία και μόνο μία κάθετος προς την ευθεία αυτή,.
Σχέση με Παράλληλες:
- Δύο ευθείες που είναι κάθετες στην ίδια ευθεία (σε διαφορετικά σημεία της) είναι μεταξύ τους παράλληλες.
- Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μία από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι υποχρεωτικά κάθετη και στην άλλη.
Απόσταση: Απόσταση ενός σημείου Α από μια ευθεία $\epsilon$ ονομάζεται το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ’ που άγεται από το σημείο προς την ευθεία,. Το τμήμα αυτό αποτελεί τη συντομότερη διαδρομή που ενώνει το σημείο με την ευθεία.
Μεσοκάθετος: Η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα και διέρχεται από το μέσο του ονομάζεται μεσοκάθετος του τμήματος. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος.

0.4 Συμβολισμός και Όργανα

Σύμβολο: Η καθετότητα μεταξύ δύο ευθειών $\epsilon_1$ και $\epsilon_2$ δηλώνεται με το σύμβολο $\perp$, δηλαδή $\epsilon_1 \perp \epsilon_2$.
Όργανα Σχεδίασης: Για τη σχεδίαση κάθετων ευθειών χρησιμοποιούμε τον γνώμονα (ορθογώνιο τρίγωνο),.

0.5 Ενδεικτικές Ασκήσεις

Άσκηση 1 (Σχεδίαση): Δίνεται μια ευθεία $\epsilon$ και ένα σημείο Α που βρίσκεται εκτός αυτής. Να σχεδιάσετε την ευθεία $\epsilon_1$ που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην $\epsilon$,.

Λύση: Τοποθετούμε τη μία κάθετη πλευρά του γνώμονα πάνω στην ευθεία $\epsilon$ και μετακινούμε τον γνώμονα μέχρι η άλλη κάθετη πλευρά του να περάσει από το σημείο Α. Στη συνέχεια χαράσσουμε την ευθεία,.

Άσκηση 2 (Συμπλήρωση Κενών):

Για να σχεδιάσουμε κάθετες ευθείες, χρησιμοποιούμε τον ……………...
Η απόσταση είναι η πιο …………….. διαδρομή που ενώνει το σημείο με την ευθεία.
Τα ύψη ενός τριγώνου διέρχονται από το ……………...
(Λύσεις: 1. γνώμονα, 2. σύντομη, 3. ίδιο σημείο).

Άσκηση 3 (Σωστό/Λάθος):

Από ένα σημείο Α μπορούμε να φέρουμε πολλές κάθετες σε μια ευθεία. (Λ, μόνο μία).
Δύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Σ).

Το κάθετο τμήμα από μια κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά ονομάζεται ύψος του τριγώνου για την πλευρά αυτή.Τα τρία ύψη του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο.

Στο παρακάτω miniapp μετακινήστε τις κορυφές του τριγώνου.

Τι παρατηρείτε για το ορθόκεντρο Η;

Που βρίσκεται όταν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο;

Που βρίσκεται όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο;

Που βρίσκεται όταν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο;

Άσκηση 4 (Εφαρμογή σε σχήματα): Να σχεδιάσετε τα τρία ύψη ενός οξυγώνιου τριγώνου χρησιμοποιώντας τον γνώμονα και να επιβεβαιώσετε ότι τέμνονται στο εσωτερικό του τριγώνου,.

Κάντε το ίδιο για άνα ορθογώνιο τρίγωνο και ένα αμβλυγώνιο. τι παρατηρείτε; που βρίσκεται το

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !